假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 [编辑本段]笛卡尔积的运算性质 由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A.
笛卡尔积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An.
笛卡尔积的运算性质. 一般不能交换.
笛卡尔积，把集合A，B合成集合A×B，规定
A×B＝{<x,y>½xÎAÙyÎB}
在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积．当集合A = B 时，笛卡尔积就记作A A． [编辑本段]推导过程 给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di∈Di，i＝1，2，…，n｝
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域：
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}
则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：
D=D1×D2×D3 ＝
｛(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，
(张清玫，计算机专业，王敏)，(张清玫，信息专业，李勇)，
(张清玫，信息专业，刘晨)，(张清玫，信息专业，王敏)，
(刘逸，计算机专业，李勇)，(刘逸，计算机专业，刘晨)，
(刘逸，计算机专业，王敏)，(刘逸，信息专业，李勇)，
(刘逸，信息专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏) ｝
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。 [编辑本段]序偶与笛卡尔积 在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
设x，y为任意对象，称集合｛｛x｝,｛x,y｝｝为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为<x,y> 。称x为<x,y>的第一分量，称y为第二分量。
定义3-4.1 对任意序偶<a，b> , <c, d > ,<a，b> = <c, d > 当且仅当a＝c且b = d 。
递归定义n元序组 <a1，… , an>
<a1，a2> =｛｛a1｝，｛a1 , a2｝｝
<a1 , a2 , a3 > = ｛ ｛a1 , a2｝,｛a1 , a2 , a3｝｝
= < <a1 , a2 > , a3 >
<a1，…an> = <<a1，…an-1>, an>
两个n元序组相等
< a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1，A2 , …，An，
（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积(Cartesian product)，定义为
A1 ×A2=｛x | $u $v(x = <u,v>∧u ÎA1∧vÎA2)｝=｛<u,v> | u ÎA1∧vÎA2｝
（2）递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。
解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}
B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}
A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}
B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}
（A×B）Ç（B×A）=Æ
由例题1可以看到（A×B）Ç（B×A）=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ，则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知：
（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}
={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}
A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}
由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以
（A×B）×C ≠A×（B×C）
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合，*表示 È，Ç或 – 运算，那么有如下结论：
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：
A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：
(B*C) ×A＝(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 È时，结论（1）的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>∈A×(BÈC)出发，推出<x,y>∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从<x,y>∈(A×B) È (A×C)出发，推出<x,y>∈A×(BÈC)
当*表示 È时，结论（2）的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论：
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件，从<x,y>∈A×C出发，推出<x,y>∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用Þ附加式，推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合，那么有如下结论：
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C，BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性： A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈A×B出发，利用条件A×BÍ C×D， <x,y>∈C×D，推出x∈C， y∈D。
再证明必要性： AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈A×B出发，推出<x,y>∈C×D。
笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。
笛卡尔积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An.
笛卡尔积的运算性质. 一般不能交换.
笛卡尔积，把集合A，B合成集合A×B，规定
A×B＝{<x,y>½xÎAÙyÎB}
在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积．当集合A = B 时，笛卡尔积就记作A A． [编辑本段]推导过程 给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di∈Di，i＝1，2，…，n｝
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域：
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}
则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：
D=D1×D2×D3 ＝
｛(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，
(张清玫，计算机专业，王敏)，(张清玫，信息专业，李勇)，
(张清玫，信息专业，刘晨)，(张清玫，信息专业，王敏)，
(刘逸，计算机专业，李勇)，(刘逸，计算机专业，刘晨)，
(刘逸，计算机专业，王敏)，(刘逸，信息专业，李勇)，
(刘逸，信息专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏) ｝
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。 [编辑本段]序偶与笛卡尔积 在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
设x，y为任意对象，称集合｛｛x｝,｛x,y｝｝为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为<x,y> 。称x为<x,y>的第一分量，称y为第二分量。
定义3-4.1 对任意序偶<a，b> , <c, d > ,<a，b> = <c, d > 当且仅当a＝c且b = d 。
递归定义n元序组 <a1，… , an>
<a1，a2> =｛｛a1｝，｛a1 , a2｝｝
<a1 , a2 , a3 > = ｛ ｛a1 , a2｝,｛a1 , a2 , a3｝｝
= < <a1 , a2 > , a3 >
<a1，…an> = <<a1，…an-1>, an>
两个n元序组相等
< a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1，A2 , …，An，
（1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积(Cartesian product)，定义为
A1 ×A2=｛x | $u $v(x = <u,v>∧u ÎA1∧vÎA2)｝=｛<u,v> | u ÎA1∧vÎA2｝
（2）递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。
解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}
B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}
A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}
B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}
（A×B）Ç（B×A）=Æ
由例题1可以看到（A×B）Ç（B×A）=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ，则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知：
（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}
={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}
A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}
由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以
（A×B）×C ≠A×（B×C）
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合，*表示 È，Ç或 – 运算，那么有如下结论：
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：
A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：
(B*C) ×A＝(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 È时，结论（1）的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>∈A×(BÈC)出发，推出<x,y>∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从<x,y>∈(A×B) È (A×C)出发，推出<x,y>∈A×(BÈC)
当*表示 È时，结论（2）的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论：
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件，从<x,y>∈A×C出发，推出<x,y>∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用Þ附加式，推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合，那么有如下结论：
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C，BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性： A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈A×B出发，利用条件A×BÍ C×D， <x,y>∈C×D，推出x∈C， y∈D。
再证明必要性： AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈A×B出发，推出<x,y>∈C×D。
笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。
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