1）
当m,n为m=1,n=1时，
mn=1
m²+n²+1=3
显然m²+n²+1可以整除mn，原式成立
当m,n为m=1,n=2时，
mn=2
m²+n²+1=1+1+4=6
显然m²+n²+1可以整除mn，原式成立
2）
令当m,n取M和N，即：m=M,n=N时也成立，即：
(M²+N²+1)/(MN) = K，K为正整数，探求当m>M，或者n>N时，是否原式仍然成立，如果成立，那么必定存在无数个正整数使得原式成立；
∵M²+N²+1=KMN
∴M²-KMN+N²+1=0，不失一般性，将该式看成是M的二元一次方程，则：
M={KN±√[(K²N²)-4N²-4]}/2
显然，当K²N² ≥4N²+4时，M有解，
令K²N²=4N²+4+X²，X∈正整数，则：
M={KN±X}/2
此时：KN=2√(N²+X²+1)，则：
M=√(N²+X²+1)±(X/2)，
再令X=2Y，则：
M=[√(N²+4Y²+1)]±Y
N²+4Y²+1不构成素数，因此在整个N+中，必能开方，且不唯一，有无穷多解，因此：
M的值是非唯一的，
又∵在式m²+n²+1和式mn中，m和n是轮换对称的，因此，m和n的值是无穷多解的，
当M取M+P，n取N+Q时，(P,Q∈N+)，同理可证也成立，
因此，综上，原命题是成立的。
（m^2+n^2+1）/mn
=m+n+(1/mn)
1/mn不是整数。
是否存在无穷个正整数使得m^2+n^2+1整除nm为什么
显然m²+n²+1可以整除mn，原式成立 2）令当m,n取M和N，即：m=M,n=N时也成立，即：(M²+N²+1)\/(MN) = K，K为正整数，探求当m>M，或者n>N时，是否原式仍然成立，如果成立，那么必定存在无数个正整数使得原式成立；∵M²+N²+1=KMN ∴M²...
...整数m,存在无穷多个正整数n,使得n*根号下(m^2+1)是完全平方数?_百 ...
不管X和m正负，这两个因式的结果必定是整数。所以当且仅当：m=0，X=+-1时等式成立 综上所述，对m=0时存在无穷多个正整数n，使得n*根号下(m^2+1)是完全平方数。
是否存在整数m,n使得m2+n2=2010?说明你的理由
因为2010有一质因子 p=3 (mod 4) 有奇次幂，所以不存在整数m,n使得m^2+n^2=2010 详细理论如下（通法）某些正整数能写成两个平方的和, 象 13=2^2+3^2; 另一些则不能, 例如 3 不能写成两个平方的和. 有一些数甚至有几种写成两个平方的和的方法, 例如 65=1^2+8^2=4^2+7^2.为...
已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数?
n|m(m+1)显然m与m+1互质,所以 n|m或者n|m+1只有一个成立 一、如果n|m+1则设有整数k, 使m+1=kn,m=kn-1代入式一有 (kn-1)n|(kn-1)kn+n^2 (kn-1)|(kn-1)k+n (kn-1)|n,所以设n=q(kn-1)=qkn-q,(qk-1)n=q,如n=1则q=1,k=2,m=1 ,是完全平方数 如n=...
设m,n为给定的正整数,且mn|m^2+n^2+m,证明:m是一个完全平方数
设(m, n)=d, m=ad, n=bd, (a, b)=1.则abd^2|(ad)^2+(bd)^2+ad.abd|a^2*d+b^2*d+a.则a|b^2*d.d|a.因为(a, b)=1.所以a|d, d|a.所以a=d.所以m=ad=a^2是完全平方数.
证明对任意正整数m,存在n,使m整除2^n+n
不过，就简单的罗列来看，这个结论应该确实如此！0&1：不必说了，它们本身就符合条件和结论；2：可以由10证明；3：对应111 4：对应100 5：对应10 6：对应1110 7：对应1001 8：对应1000 9：对应111111111 所以，任何正整数都可以找出对应的【0&1】数作为其倍数。
是否存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1)
答案是否定的．若存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1），则m2+2m+1=n2+n+1，∴（m+1）2=n2+n+1，显然n＞1，于是n2＜n2+n+1＜（n+1）2，∴n2+n+1不是平方数，矛盾．∴不存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）．…（5分）
证明:存在无穷多的正整数(m,n),使得(n+1)\/m+(m+1)\/n是一个整数
这类题就是构造，（m,n)=(1,2)符合 设使条件满足的(m,n)=(m0,n0),m0<n0(下面直接用m,n了）设(n+1)\/m+(m+1)\/n=t tn=(n+1)n\/m+(m+1)(n+1)n\/m为整数,设为s（s>n+1)tn=m+1+s,tn=(n+1)n\/s+s+1 t=(n+1)\/s+(s+1)\/n 所以(n0,s)为满足条件不同(m0,...
数学 初等数论 证明不存在整数m、n,使得m^2=n^2+2。并归纳推广出一般结...
假设存在m,n 2n^2+2n=m^2+1,由于左边是偶数,因此m^2必为奇数,m=2k+1 2n(n+1)=(2k+1)^2=4k^2+4k+2=2(2k^2+2k+1)n,n+1中必有一个是偶数,故2n(n+1)是4的倍数,但2k^2+2k+1是奇数 2(2k^2+2k+1)不是4的倍数,矛盾 ...
求证:存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1).谢谢答题者.
假设存在正整数m,n,使得m(m+2)=n(n+1).则n^2+n+1=m^2+2m+1=(m+1)^2,说明n^2+n+1是完全平方数；另一方面，n^2<n^2+n+1<(n+1)^2，说明n^2+n+1不是完全平方数，所以这样的正整数m,n不存在.
