用C（m，n）（其中m<=n）表示n个里面取m个的组合数。用二项式定理：（1+1/n）^n=1+C（1，n）/n+C（2，n）/n^2+C（k，n）/n^k+1/n^n=1+1+C（2，n）/n^2+C（k，n）/n^k+1/n^n。
考虑展开式通项：C（k，n）/n^k=n！/［k！（n-k）！n^k］=（1/k！）{n！/［（n-k）！n^k］}。
而n！/［（n-k）！n^k］=n（n-1）（n-k+1）/n^k=（n-1）（n-k+1）/n^（k-1）<1（由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘）因此C（k，n）/n^k<1/k！所以（1+1/n）^n<3。
含义
和整数一样，正整数也是一个可数的无限集合。在数论中，正整数，即1、2、3……；但在集合论和计算机科学中，自然数则通常是指非负整数，即正整数与0的集合，也可以说成是除了0以外的自然数就是正整数。正整数又可分为质数，1和合数。正整数可带正号（+），也可以不带。
考虑展开式通项:C(k,n)/n^k=n!/[k!(n-k)!n^k]=(1/k!){n!/[(n-k)!n^k]}而n!/[(n-k)!n^k]=n(n-1)...(n-k+1)/n^k=(n-1)...(n-k+1)/n^(k-1)<1(由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘）因此C(k,n)/n^k<1/k!所以1+C(1,n)/n+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n<1+1+1/2!+1/3!+...+1/k!+...+1/n!=(1+1)+(1/2!)[1+1/3+1/(3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(3*4*...*n)]<2+(1/2)(1+1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-2)]=2+(1/2)[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3)<2+(1/2)/(1-1/3)=2+3/4=11/4<3不等式得证.所以(1+1/n)^n<3追问
这个办法很好（屌爆了！），那还可不可以用函数的方法证明？（求导，再求最大值）只要给出求最大值的部分就可以了。我自己求了下，导数恒正，然后就纠结了……
追答函数方法当然更简单了，需要求导，函数单调增加的。不过需要借助 （1+1/n)^n的极限为e
本回答被提问者采纳高数的什么定理？（具体些，我是高中生，还没接触过高等数学）
追答哦哦……你不说你是高中生，我怎么知道啊……晚上给你，邮箱给我
追问1531255491@qq.com，谢了。（求详解）
追答那我的答案要采纳，我过程就直接剪切教材得，自己去推到（我都忘记过程了，但知道结果，不想推了）……不行就不发了……自己决定
数学问题:求证(1+ 1\/n)^n < 3 n为正整数。
是n-1个n相乘）因此C(k,n)\/n^k<1\/k!所以1+C(1,n)\/n+C(2,n)\/n^2+...+C(k,n)\/n^k+...+1\/n^n<1+1+1\/2!+1\/3!+...+1\/k!+...+1\/n!=(1+1)+(1\/2!)[1+1\/3+1\/(3*4)+1\/(3*4*5)+...+1\/(3*4*...*n)]<2+(1\/2)(1+1\/3+1\/3^2+1\/3^...
数学问题:求证(1+ 1\/n)^n < 3 n为正整数。
而n！\/［（n-k）！n^k］=n（n-1）（n-k+1）\/n^k=（n-1）（n-k+1）\/n^（k-1）<1（由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘）因此C（k，n）\/n^k<1\/k！所以（1+1\/n）^n<3。含义 和整数一样，正整数也是一个可数的无限集合。在数论中，正整数，即1、2、3...
证明(1+1\/n)的n次方 小于3 (n属于正整数)
ln[(1+1\/n)^n] = n*ln(1+1\/n),对ln(1+1\/n)泰勒展开得1\/n+o(n^(-2))n*ln(1+1\/n)=1+o(1\/n),也就是lim(ln(1+1\/n)^n) = 1 所以(1+1\/n)^n的极限是e e约等于2.7，所以（1+1\/n）的n次方小于3。正整数分类 我们知道正整数的一种分类办法是按照其约数或积因子...
[1]证明(1+1\/N)^N大于等于2,小于3.。N属于正整数。
=1+(1\/N)N+[(1\/N)^2][(N(N-1)\/2!]+[(1\/N)^3][N(N-1)(N-2)\/3!]+...+[(1\/N)^(N-1)][(N(N-1)(N-2)...3*2\/(N-1)!]+[(1\/N)^N][N(N-1)(N-2)...2*1\/N!]<1+1+1\/2!+1\/3!+...+1\/(N-1)!+1\/N!...(*)<2+1\/(1*2)+1\/(2*3)...
(1+1\/n)^n<3
证明：因为(1+1\/n)^n=1+Cn^1*1\/n+Cn^2*1\/n*2+...Cn^n*1\/n^n 小于2+1\/2!+1\/3!+1\/4!+...1\/n!小于2+1\/2+1\/2^2+1\/2^3+1\/2^4+...1\/2^n-1 =2+!\/2【1-(1\/2)^n】\/1-1\/2 =3-(1\/2)^n 所以（1+1\/n)^n小于3 ...
求证(1+1\/n)^n<3 (n=1,2,3...)
则g(x1)<g(x2)∵y=e^x在（-∞，+∞)上为增函数 ∴e^(g(x1))<e^(g(x2))即f(x1)<f(x2)∴f(x)在（-∞,-1）∪（0,+∞)上单调递增有定理证明数列与对应函数单调性相同 故数列(1+1\/n)^n (n>1,且为整数)单调递增。n趋向无穷时原式趋向e小于3,由单调性可知原不等式成立...
用二项式定理求证:(1+1\/n)^n<3
n*(n-1)*(n-2)*...*2*1\/(1*2*3*...*n*n^n)我每一项都写一行，希望你看得明白。然后，第3项小于1\/(1*2)，从而小于1\/2 第4项小于1\/(1*2*3)，从而小于1\/4 第5项小于1\/(1*2*3*4)，从而小于1\/8 ...第n+1项小于1\/(1*2*3*...*n)，从而小于1\/[2^(n-1)]于...
求证,(1+1\/n)的n次小于3,感激不尽!
n=1，显然成立 当n>1时 可以证明Yn=(1+1\/n)^(n+1)是一个单调减的数列，n=2时小于3 Yn比(1+1\/n)^n多一个因子(1+1\/n)>1，故(1+1\/n)^n<3 下证Yn单减，1\/Yn=[n\/(n+1)]^(n+1) * 1利用平均值不等式得此式<=1\/Y(n+1)
“(1+1\/n)的n次方大于等于2,小于3”怎么证明啊?
ln[(1+1\/n)^n] = n*ln(1+1\/n),对ln(1+1\/n)泰勒展开得1\/n+o(n^(-2)),所以n*ln(1+1\/n)=1+o(1\/n),也就是lim(ln(1+1\/n)^n) = 1,所以(1+1\/n)^n的极限是e.但是这并不能说明e的取值就在2和3之间,要证明在2个数之间用数学归纳法就行.
高数证明题 证明(1+1\/n)^n<3 (n=1,2,3…)
用二项式定理展开,( 1 + 1 \/ n)^n中含有1\/n^k * n*(n-1)...*(n-k+1)\/k!,上式小于1\/n^k * n*n...n\/k!= 1\/k!,这又小于1\/k(k-1) = 1\/(k-1) - 1\/k,对所有的k求和得到：1 + 1 + 1 - 1\/2 + 1\/2 - 1\/3 +...+ 1\/(n-1) - 1\/n ...
