设函数f(x)在[0,1]上可导，且0<f(x)<1，证明： (1)在(0,1)内有唯一点，令f(§)=§ (2)又若f'(x)不等于1
设函数f(x)在[0,1]上可导，且0<f(x)<1，证明：
(1)在(0,1)内有唯一点，令f(§)=§
(2)又若f'(x)不等于1，x∈(0,1),如上§唯一存在
也就是要证明h(x)=f(x)-x在(0,1)内存在零点。先看存在性：
h(0)=f(0)>0，h(1)=f(1)-1<0，可以知道h(x)在(0,1)内有零点§，也就是h(§)=0，或者f(§)=§。
想想看：“f(x)是连续函数”这个条件用在了哪里？
但是，要证明唯一性，条件还不充分，举个反例：
这个题实际上是要说明曲线y=f(x)与y=x在(0,1)内一定相交，交点未必唯一。反例可以自己想想。
(2)
这里又增加了“f'(x)不等于1”这一条件，这样交点就唯一了，也就是唯一性：
唯一性一般用反正，假设还有一个点§2（不等于§）也使得f(§2)=§2，那么就表明函数h(x)=f(x)-x在(0,1)内有两个不同的零点§和§2，根据洛尔定理在这两个零点之间就有一个点§3使得h'(§3)=0，也就是说0=h'(§3)=f'(§3)-1，因此f'(§3)=1，与所给条件矛盾。
想想看：点§3在(0,1)内吗，为什么？来自：求助得到的回答
若函数f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:在[0,1]上至少存在两...
即函数f（x)在[0,1]上存在最大值及最小值 由f(0）=0，f(1)=1，不妨设最大值为f(1)=1，最小值为f(0）=0 则由介值定理知存在实数a∈[0,1]，使得f(a)=1\/2(由于1\/2在[0,1]之间)由题意可知f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续，在(a,1)上可...
在线等,设函数f(x)在[0,1]可导,且0<f(x)<1,证明: (1)存在t属于(0,1...
在[0，1]上设 g(x)=f(x)-x 1. g(0) =f(0) > 0, g(1)=f(1)-1<0 因为 g(x) 连续， 所以存在t属于（0,1），使得g(t)=0, 即f(t)=t.2. 反证： 若存在 0<t1<t2<1, 使得 f(t1)=t1, f(t2)=t2,则 g(t1)=g(t2)=0, 因g(x) 可导，于是存在t3, t1<t3<...
设f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导证明至少存在一点ξ∈(0,1),使f...
罗尔定理描述如下： 如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
设函数f(x)在[0,1]上可导,对于[0,1]上每一点x,都有0<f(x)<1,且f(x...
令 F(x) = f(x) - x, F(0) > 0, F(1) < 0, F(x)在[0,1]上可导=>连续，故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0, 即 f(ξ) = ξ.下面用反证法证明 ξ 只有一个。假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) , F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0.由罗尔中值定理，必...
函数f(x)在【0,1】上可导,且0<f﹙x﹚<1,对﹙0,1﹚内一切x,f′﹙x...
设F(x)=f(x)-x,f(x)=x在（0,1）内有唯一实根，就是F(x)=0有解。F(X)′=f′(x)-1 ∵f′(x)≠1,∴F′(x)>0,或F′(x)<0 当F′(x)>0时，F(0)=f(0)-0=f(0)>0 F(1)=f(1)-1<0 ∴F(x)在﹙0,1﹚内有唯一的解。同理可得F′(x)<0的情况。不懂请追问，...
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可导,且f(0)×f(1)<0,证明在开区间(0,1)内...
题目错了吧 应该是证明，2f(a)＋af'(a)＝f'(a)如下图：
设函数f(x)在(0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1\/2)=1...
即F‘(x)>0或者F‘(x)<0在(0,1)上恒成立.1° 若F‘(x)>0，F(x)在(0,1)上为递增函数。F(1)=-1 0不成立.2°若F‘(x)<0，F(x)在(0,1)上为递减函数。F(1\/2)=1\/2>F(0)=0 所以F‘(x)<0不成立.所以由1° 2° 可知，即F‘(x)>0或者F‘(x)<0在(0,1)上恒...
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)>0,f(1\/2)<0,f(1)>...
f(x)在[0,1]内连续且可导，所以导函数f'(x)也在这一区间连续。又f(0)>0,f(1\/2)<0,则在[0,1\/2]上必有一区间[a,b]使得f'(x)<0，这里，[a,b]属于[0,1\/2],因为f(x)在[0,1\/2]上必有递减的区域。同样的，可得到f'(x)在[1\/2,1]上必有一区间使得f'(x)>0.又由于f...
设函数f(x)在[0,1]上可导,且0<f(x)<1,又对(0,1)内所有x,f'(x)不...
F(x)=f(x)-(1-x)，F(0)=f(0)-1<0，F(1)=f(1)>0，由零点定理知有实根。若有两个实根，设为a<b，即F(b)=F(a)=0，由罗尔中值定理，在(a,b)上有一点c满足F'(c)=0，即f'(c)+1=0。矛盾
设函数f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=0,求证:在(0,1)内至少存在一点ξ...
证明：令F（x）=xf（x），由题意F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且F（0）=0，F（1）=0，由罗尔定理可知在（0，1）内至少存在一点ξ，使F′（ξ）=0，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，所以，在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′(ξ)＝?f(ξ)ξ．
