Ω:{(x,y,z)|-c≤z≤c,x²/a²+y²/b²≤1-z²/c²}
原式=∫(-c→c)z²dz∫∫(Dz)dxdy
Dz={(x,y)|x²/a²+y²/b²≤1-z²/c²}
∴∫∫(Dz)dxdy
=π√[a²(1-z²/c²)]√[b²(1-z²/c²)]
=πab(1-z²/c²)
原式=∫(-c→c)πab(1-z²/c²)z²dz
=(4/15)πabc³
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
扩展资料
计算方法
直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
原式=∫(-c→c)z²dz∫∫(Dz)dxdy
Dz={(x,y)|x²/a²+y²/b²≤1-z²/c²}
∴∫∫(Dz)dxdy
=π√[a²(1-z²/c²)]√[b²(1-z²/c²)]
=πab(1-z²/c²)
原式=∫(-c→c)πab(1-z²/c²)z²dz
=(4/15)πabc³
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
扩展资料
计算方法
直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2019-05-30
ab是x²/a²+y²/b²=1这个标准形式椭圆的面积，要求这个椭圆的面积，首先要化成标准形式，也就是右边必须是1。
上式化为：x²/[a²(1-z²/c²)]
+
y²/[b²(1-z²/c²)]
=
1
因此这个椭圆的长轴和短轴分别为：a√(1-z²/c²)，b√(1-z²/c²)
因此椭圆面积为：πab(1-z²/c²)
这就是被积函数为什么多出一个(1-z²/c²)的原因。
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n）。
在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分。
扩展资料：
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
三重积分就是立体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
参考资料来源：百度百科--三重积分
上式化为：x²/[a²(1-z²/c²)]
+
y²/[b²(1-z²/c²)]
=
1
因此这个椭圆的长轴和短轴分别为：a√(1-z²/c²)，b√(1-z²/c²)
因此椭圆面积为：πab(1-z²/c²)
这就是被积函数为什么多出一个(1-z²/c²)的原因。
设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n）。
在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分。
扩展资料：
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
三重积分就是立体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
参考资料来源：百度百科--三重积分
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