克莱因瓶为何制造不出来，市面上的克莱因瓶是真的吗？

如题所述

大家在网上或许看到过关于克莱因瓶的描述，就是不分里外，瓶口可以和内部相连的一种特殊结构，如果将一只蚂蚁放到克莱因瓶内，它将沿着瓶壁从里面直接爬到外部，基于此，有的人甚至说就连黄河水都装不满它。现在网上也有售卖克莱因瓶的，那这些瓶子到底是不是真的克莱因瓶呢？

要搞清楚什么是克莱因瓶，得首先看一下它最初提出的概念是什么样的。在1882年的时候，德国数学家菲利克斯·克莱因在研究平面问题时提出来的一个设想，即一种具有无定性的平面，克莱因在命名这个平面时使用的是德语的形式，只不过在德语中平面和瓶子的写法非常相似，后来人们搞混了，就将错就错，一直用比较理解的这个瓶子，来表达无定性平面的特性。

我们拿一块平面来说，它如果本身处在二维的空间中，我们是无法判定它的内部和外部的，同样，克莱因就据此类比推测，在我们所在的三维空间中，势必也会存在着一个这样的平面或者曲面，也没有所谓的内部和外部之分，对外表现出无定性特点，那么就有可能借助增加一个空间维度的方法，将这个无定性平面镶嵌在三维空间里，形成一个闭合的空间，在这个空间中不但不分内、外，而且没有边界，这就是克莱因平面的真实想想化模型。

我们现在通常意义上理解的维度概念，只能局限在三维及以下，零难是一个没有大小的点、一维是没有粗细的线、二维是一个没有厚度的平面，三维是具有长宽高尺度的立体空间，从这里我们就可以看出我们对维度理解的限制了，既然零维没有大小、一维没有粗细、二维没有厚度，那三维没有什么呢？这一点实在令人费解。而且还有一点，那就是高维可以向低维展开，既一维可以展开为无限多的零维，二维可以展开为无限多的线，三维可以展开为无数平面，我们同样也想象不出在三维条件下在每个维度中再增加长宽高到底是个什么样子，因此我们也理解不出来四维空间是如何通过“切片”的方式形成无数个三维空间的具体展开方式。

而基于克莱因的假设，由具有无定性平面所组成的瓶子，其瓶口必须经过额外的维度来实现与瓶身相连。在二维世界里，如果增加一个维度，可以实现另一个维度的扭曲，从而达到一个平面的首尾相连的目的，比如莫比乌斯环，沿着一面行进，就可以不用“翻阅”平面的边界到达另外一面。

那么在三维空间中，要制造出真正的克莱因瓶，也必须增加另外一个维度，并且实现在这个新增维度下的空间扭曲，才可以达到瓶子内外相连的目的。如果这个瓶子足够大，我们人类在瓶子中沿着一个方向运动，结果都可以再回到出发时的原点。

现在市面上出售的克莱因瓶，固然可以实现我们沿着同一方向可以一直运动、并且从内部可以到达内部的目的，但是如果仔细观察你可以发现，其连接“瓶口”和“瓶身”的通道，是与瓶子本身相接的，也就是说它实现内外“穿越”目的的方法，是通过与自身相交实现的，这与增加第四个维度实现空间在新维度上的扭曲是相悖的，因此只能算是真正的克莱因瓶在三维世界中的投影而已。

既然是投影，那么我们可以类比一下三维空间中的物体形态在二维平面上的投影。比如，我们拿着一根打结的细绳，从三维视角观察，绳子虽然打结，但绳子与绳子之间是不相交的，而如果我们把这个打结的绳子拍张照片或者画到画板上，那么绳子之间就会发生交错的现象，而且处在观测背面的部分无法再被看到。

由此类推，如果四维空间真的存在，在四维空间中的克莱因瓶，它所实现的“首尾相连”是通过第四个维度实现的，在四维空间中观察它就不存在自身与自身相交的问题，而假如我们把它投影到三维里面，那么它必须会发生相交现象，因为在三维中不存在那个额外的四维，扭曲的部分就会以三维的形式来展现，这和绳子打结投影到二维平面上是一个道理。

因此，我们在市面上买的所谓的克莱因瓶，都是三维空间中的投影模型而已，说它是仿制假冒品也不为过。之所以真正的克莱因瓶制造不出来，主要有两个方面的因素我们理解不了也破解不了，一个是如何在三维空间的基础上再增加另外一个维度，否则我们无法实现空间在新维度上的扭曲；另外一个就是如何解决没有边界的问题，在三维空间中要实现一个闭合的曲面，我们想象不出如果没有边界到底如何才能实现。如果这两个问题解决了，那么我们不但可以制造出克莱因瓶，而且还可以真正理解四维的涵义和特征，从而可以实现空间的无障碍跨越。