有理函数积分
1:∫xdx/(x+1)(x+2)(x+3)=∫[2/x+2-1/2/x+1-3/2/x+3]dx的详细过程!主要是分子是如何求得?
2.∫3/x^3+1=∫1/x+1+(-x)=2/x^2-x+1的详细过程!主要是分子是如何求得?
请高手帮忙总结一下有理函数积分的规律!让我明白有理函数积分!拜托!谢谢!
设Q(x)=c(x-a)^α...(x-b)^β(x^2+px+q)^λ...(x^2+rx+s)^μ
(其中p^2-4q<0,...,r^2-4s<0.).
那么真分式P(x)/Q(x)可以分解成如下部分分式之和：
P(x)/Q(x)=A1/(x-a)^α+A2/(x-a)^(α-1)+...+A[α]/(x-a)+...+
+B1/(x-b)^β+B2/(x-b)^(β-1)+...+B[β]/(x-b)+
(M1x+N1)/(x^2+px+q)^λ+...+(M[λ]x+N[λ])/(x^2+px+q)+......+
(R1x+S1)/(x^2+rx+s)^μ+...+(R[μ]x+S[μ])/(x^2+rx+s).
x/[(x+1)(x+2)(x+3)]=A/(x+1)+B/(x+2)+C/(x+3),
x=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2).
令x=-1,得A=-1/2,
令x=-2,得B=2,
令x=-3,得C=-3/2,
x/[(x+1)(x+2)(x+3)]=(-1/2)*1/(x+1)+2/(x+2)-(3/2)*1/(x+3),
或由x=(A+B+C)x^2+(5A+4B+3C)x+(6A+3B+2C),
比较系数得A+B+C=0,5A+4B+3C=1,6A+3B+2C=0,
解出A,B,C.
3/(x^3+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)=A/(x+1)+(Mx+N)/(x^2-x+1),
3=A(x^2-x+1)+(Mx+N)(x+1).
令x=-1,得A=1,
(Mx+N)(x+1)=3-A(x^2-x+1)=-x^2+x-2=-(x-2)(x+1),
Mx+N=-x+2,M=-1,N=2.
3/(x^3+1)=1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1).
设：x/(x+1)(x+2)(x+3)=A/(x+1)+B/(x+2)+C/(x+3)
然后右边通分，与左边比较，就可以解出A,B,C，再带回去，就是你的那个式子。
第二题因为：x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
就设3/(x^3+1)=A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2-x+1)
之后同理～
这个规律嘛，就是把分母分解因式，然后把它拆开，每一项的分子次数比分母少一次，之后待定系数法～
最后分解完并且解出系数后，都是形如：
A/(x+m),和（px+q)/(x^2+mx+n)之类，然后运用公式求解～
设Q(x)=c(x-a)^α...(x-b)^β(x^2+px+q)^λ...(x^2+rx+s)^μ
(其中p^2-4q<0,...,r^2-4s<0.).
那么真分式P(x)/Q(x)可以分解成如下部分分式之和：
P(x)/Q(x)=A1/(x-a)^α+A2/(x-a)^(α-1)+...+A[α]/(x-a)+...+
+B1/(x-b)^β+B2/(x-b)^(β-1)+...+B[β]/(x-b)+
(M1x+N1)/(x^2+px+q)^λ+...+(M[λ]x+N[λ])/(x^2+px+q)+......+
(R1x+S1)/(x^2+rx+s)^μ+...+(R[μ]x+S[μ])/(x^2+rx+s).
x/[(x+1)(x+2)(x+3)]=A/(x+1)+B/(x+2)+C/(x+3),
x=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2).
令x=-1,得A=-1/2,
令x=-2,得B=2,
令x=-3,得C=-3/2,
x/[(x+1)(x+2)(x+3)]=(-1/2)*1/(x+1)+2/(x+2)-(3/2)*1/(x+3),
或由x=(A+B+C)x^2+(5A+4B+3C)x+(6A+3B+2C),
比较系数得A+B+C=0,5A+4B+3C=1,6A+3B+2C=0,
解出A,B,C.
3/(x^3+1)=1/(x+1)(x^2-x+1)=A/(x+1)+(Mx+N)/(x^2-x+1),
3=A(x^2-x+1)+(Mx+N)(x+1).
令x=-1,得A=1,
(Mx+N)(x+1)=3-A(x^2-x+1)=-x^2+x-2=-(x-2)(x+1),
Mx+N=-x+2,M=-1,N=2.
3/(x^3+1)=1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1).
这是以前我回答过的一个问题,跟你提的问题很相似.
关于有理函数的积分方法,在那个回答中我以例题形式写了出来,你可以参考对照一下.
至于你的提问中的积分,可以作为练习,看看自己是否真的掌握了方法.^_^
如何求有理函数积分?
(uv)'=u'v+uv'得：u'v=(uv)'-uv'两边积分得：∫u'v dx=∫（uv)' dx -∫uv' dx。即：∫u'v dx = uv -∫uv' d,这就是分部积分公式。也可简写为：∫v du = uv -∫u dv。分部积分法的实质：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。有理函数分为...
有理函数的积分
有理函数积分法是按一定步骤求有理函数不定积分的方法。有理函数积分法是按一定步骤求有理函数不定积分的方法，求有理函数的积分时，先将有理式分解为多项式与部分分式之和，再对所得到的分解式逐项积分。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合。有理函数的积分虽然形式上看...
有理函数的积分怎么拆
有理函数的积分拆分方法：积分函数f(x)=(x^2+1)\/[(x-1)(x+1)^2]用待定系数法，设分拆成以下有理分式f(x)=A\/(x-1)+B\/(x+1)+C\/(x+1)^2。通分得f(x)=[A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)]\/[(x-1)(x+1)^2]= [(A+B)x^2+(2A+C)x+(A-B-C)]\/[(x-1)...
有理函数的积分(x-1)的平方可以设ax+b吗
已知有理函数为：（x-1）^2。根据有理函数的性质，可以将有理函数分解为多项式和分式的乘积，即：（x-1）^2=（x-1）（x-1）。将上式展开，得到：（x-1）^2=x^2-2x+1。将上式化简，得到：（x-1）^2=x^2-2x+1。根据多项式的积分公式，可以得到：∫（x^2-2x+1）dx=（x^3\/3-x...
有理函数的积分
原积分 =∫[(sinx)^2+(cosx)^2]\/(sinx(cosx)^3) dx =∫ sinx\/(cosx)^3 + 1\/(sinxcosx) dx =1\/(2(cosx)^2) + 2∫1\/(sin2x) dx =1\/(2(cosx)^2) + ln|cot2x-csc2x| dx =1\/(2(cosx)^2) + ln|tanx| dx 形如∫R(sinx,cosx)dx（式中R为有理函数）的积分一般情形...
有理函数的积分
=Im-1\/a^2 -(∫[t^2)\/(t^2+a^2)^m ]dt)\/a^2 =Im-1\/a^2 -(∫[t\/(t^2+a^2)^m ]d(t^2+a^2))\/2a^2 =Im-1\/a^2 +t\/(t^2+a^2)^(m-1) ]\/[2(m-1)a^2]+Im-1\/[2(m-1)a^2]=(2m-1)Im-1\/[2(m-1)a^2]+t\/(t^2+a^2)^(m-1) ]\/[2(m...
有理函数的积分是什么?
根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分。有理函数全体构成所谓的有理函数域。在实数范围内，无限不循环的小数叫做无理数，一般通过开平方得到。在二次函数里面，如 y=a*x^2+b*x+c，如果△≥0，那么 y=0 有实数...
有理函数的积分
就是两边去分母，再对比多项式的各项系数相等即可。 比如例1中，两边同时乘以(x-3)(x-2),得： x+1=A(x-2)+B(x-3) x+1=(A+B)x-2A-3B 对比系数： A+B=1 -2A-3B=1 解这个方程组得：A=4,B=-3
有理函数(有理式、有理分式)的不定积分
有理函数，即两个多项式的比，其积分是数学中常见的问题。当分子和分母没有公因子时，我们区分其为真分式或假分式。真分式 [formula] 的积分关键在于将其表示为部分分式之和。对于真分式 [formula] ，如果分母可以分解为 [formula] 且 [formula] 无公因式，它可拆分为 [formula]。若进一步分解，我们...
怎么计算分子有理式的积分呢?
计算过程如下：∫x·e^xdx=(x-1)·e^x +C，C为积分常数 解过程如下：∫x·e^xdx =∫xd(e^x)=x·e^x-∫e^xdx =x·e^x -e^x +C =(x-1)·e^x +C
