Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
1+1/2+1/3+……+1/n=lnn
ln是自然对数，
当n趋于无穷时，
1+1/2+1/3+……+1/n=lnn+R
R为欧拉常数，约为0.5772.
推理查看百科上有，不知道你能不能看懂
1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：
根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x)=1/x-1/2x^2+1/3x^3-...
于是：
1/x=ln((x+1)/x)+1/2x^2-1/3x^3+...
代入x=1,2,...,n，就给出：
1/1=ln(2)+1/2-1/3+1/4-1/5+...
1/2=ln(3/2)+1/2*4-1/3*8+1/4*16-...
......
1/n=ln((n+1)/n)+1/2n^2-1/3n^3+...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2)-1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3)+......
后面那一串和都是收敛的，我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+r
Euler近似地计算了r的值，约为0.577218。这个数字就是后来称作的欧拉常数。
已知1+1\/2+1\/3+1\/4+...+1\/ n
1、【欧拉常数】γ=0.577215664902138 2、【1+1\/2+1\/3+1\/4+...+1\/n= ln(n+1)+r(r为常量)的证明】根据Newton（牛顿）的幂级数有：ln(1+1\/x) = 1\/x - 1\/2x² + 1\/3x³ - ...于是：1\/x = ln((x+1)\/x) + 1\/2x² - 1\/3x³ + ...代入x=1...
1+1\/2+1\/3+1\/4+………+1\/n的公式
lnn+R，R为欧拉常数，约为0.5772。（1）当n有限时候：1+1\/2+1\/3+……+1\/n=lnn，ln是自然对数。（2）当n趋于无穷时：1+1\/2+1\/3+……+1\/n=lnn+R 欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。
1+1\/2+1\/3+1\/4+...+1\/ n
而1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+...+1\/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大，不是有限整数，且不能约分，所以它不属于有理数，因此它是无理数。
1+1\/2+1\/3+1\/4+…+1\/n等于多少
1+1\/2+1\/3+……+1\/n =ln(n)+C，(C为欧拉常数)具体证明看下面的链接 欧拉常数近似值约为0.57721566490153286060651209 这道题用数列的方法是算不出来的 Sn=1+1\/2+1\/3+…+1\/n >ln(1+1)+ln(1+1\/2)+ln(1+1\/3)+…+ln(1+1\/n)=ln2+ln(3\/2)+ln(4\/3)+…+ln[(n+1)\/n...
1+1\/2+1\/3+1\/4+...+1\/n
这题目用n!无济于事的 当n->∞，1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+...+1\/n->∞，是个发散级数 当n很大时，有个近似公式：1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+...+1\/n=γ+ln(n)γ是欧拉常数，γ=0.57721566490153286060651209...ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数，e=2.71828...）...
1\/1+1\/2+1\/3+1\/4+...+1\/n=?
有两种办法。一是，利用近似公式来计算（需要从一些专门研究数列的书中查）。最著名的是“欧拉公式”：1+1\/2+1\/3+……+1\/n=ln(n)+C.（C=0.5772……叫做欧拉常数，ln(n)是以e=2.71828……为底数的n的对数——自然对数）。二是，用高级语言编程来计算。
1+1\/2+1\/3+1\/4+...1\/n如何计算?
这个是发散级数，当n很大时有近似式：1 + 1\/2 + 1\/3 + 1\/4 + ... + 1\/n = ln(n) + C 其中C是欧拉常数
1+1\/2+1\/3+...+1\/n=?
S(n)=1\/1+1\/2+1\/3+...+1\/n 首先要指出,这个数列是没有极限的.也就是说,这个级数是发散的,而不是收敛的.下面证明S(n)可以达到无穷大:1\/1 = 1 1\/2 = 1\/2 >= 1\/2 1\/3+1\/4 >= 1\/4+1\/4 >=1\/2.1\/5+1\/6+1\/7+1\/8 >= (1\/8)*4 >=1\/2...所以: (2^n就是...
1+1\/2+1\/3+...+1\/n的和杂算?
1+1\/2+1\/3+…+1\/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):1+1\/2+1\/3+...+1\/n≈lnn+C(C=0.57722...一个无理数,称...
1+1\/2+1\/3+...+1\/n等于多少
=ln[2*3\/2*4\/3*…*(n+1)\/n]=ln(n+1)由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在，调和级数发散。但极限S=lim[1+1\/2+1\/3+…+1\/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为 Sn=1+1\/2+1\/3+…+1\/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1\/2)+ln(1+1\/3)+...
