A是n阶非零实矩阵，且A*=AT.证明：A是可逆矩阵。

线性—矩阵

证明过程如下：

A*=AT
AA*=AAT
而AA*=|A|E
AAT=|A|E
然后用反证法，假设A不可逆，即|A|=0
则AAT=0E=O
根据一个矩阵乘以其转置矩阵为零矩阵时，这个矩阵必为零矩阵。
于是A=O，这与题设矛盾，所以假设不成立。
所以A是可逆阵。

扩展资料：

可逆矩阵性质：

下面是充分必要条件:

1.行列式不等于零
2.等价标准形是单位矩阵
3.以表示成初等矩阵的乘积
4.AX=0只有零解
5.行(列)向量组线性无关
6.行(列)向量组构成R^n的基
7.特征值都不为0

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

可逆矩阵的计算公式：

A^(-1)=(︱A︱)^(-1) A﹡(方阵A的行列式的倒数乘以A的伴随矩阵)。

这个公式在矩阵A的阶数很低的时候（比如不超过4阶）效率还是比较高的，但是对于阶数非常高的矩阵，通常我们通过对2n*n阶矩阵[A In]进行行初等变换，变换成矩阵[In B],于是B就是A的逆矩阵。

参考资料来源：百度百科-可逆矩阵