证明：改写((n+1)/3)^n<n!为：n!(3/n)^n>(1+1/n)^n
我们用数学归纳法证明：n!(3/n)^n>e
当n=1时，3>e，结论成立。
设结论在n=k时成立，即：k!(3/k)^k>e
当n=k+1时，（k+1)!(3/(k+1))^(k+1)=k!(3^(k+1)/(k+1)^k
=k!(3/k)^k*(3/(1+1/k)^k)>e(3/(1+1/k)^k)>e ((1+1/k)^k<e<3)
故对一切n,有n!(3/n)^n>e>(1+1/n)^n. 证毕
我们用数学归纳法证明：n!(3/n)^n>e
当n=1时，3>e，结论成立。
设结论在n=k时成立，即：k!(3/k)^k>e
当n=k+1时，（k+1)!(3/(k+1))^(k+1)=k!(3^(k+1)/(k+1)^k
=k!(3/k)^k*(3/(1+1/k)^k)>e(3/(1+1/k)^k)>e ((1+1/k)^k<e<3)
故对一切n,有n!(3/n)^n>e>(1+1/n)^n. 证毕
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2012-09-27
我的建议是用Stirling formula，然后当n>10时 不等式成立，对于N<=10可用Mathematica等数学软件直接验证
相似回答
