证明:n个数的n次方的算术平均值大于或等于n个数的算术平均值的n次方大于或等于这n个数的积.
就是:(a1^n+a2^n+...+an^n)/n>=[(a1+a2+...+an)/n]^n>=a1*a2*...*an
a1,a2...,an都是正实数,n属于Z,n>1.
n=2时很简单,n=3时也不难证明,但n很大时是否成立,请高人指点.
(请给出详细答案,thanks!)
这个式子的后半段,也就是[(a1+a2+...+an)/n]^n≥a1*a2*...*an,所谓的均值不等式吧,百度百科里有证明,但前半段即(a1^n+a2^n+...+an^n)/n≥[(a1+a2+...+an)/n]^n,我认为也是真命题,但找不到证明方法,请高人指点啊.
当n=2成立
假设n=k时成立证明n=k+1也成立就可以了追问
是的,我也想过数学归纳法,不过n=k+1却证明不了,你能写出整个证明过程么?
追答[(a1+a2+...+an)/n]^n>=a1*a2*...*an
用柯西不等式的推广形式证明试试
前半段即(a1^n+a2^n+...+an^n)/n≥[(a1+a2+...+an)/n]^n呢?你证明出来了么?如果证明出来了,可否写出详细过程?Thanks!
追答柯西不等式推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
证明(a1^n+a2^n+...+an^n)/n≥[(a1+a2+...+an)/n]^n
说明：（1+1+…）表示n个1相加
(a1^n+a2^n+...+an^n)(1+1+…)…(1+1+…)
≥{ [(a1^n*1^(n-1)]^(1/n)+[a2^n*1^(n-1)]^(1/n)+…[an^n*1(n-1)]^(1/n) }^n
(a1^n+a2^n+...+an^n)*n^(n-1)≥(a1+a2+...+an)^n
[(a1^n+a2^n+...+an^n)/n]*n^n≥(a1+a2+...+an)^n
(a1^n+a2^n+...+an^n)/n≥[(a1+a2+...+an)/n]^n
[(a1+a2+...+an)/n]^n>=a1*a2*...*an这个的证明方法太多
柯西不等式推广形式也可以证明
(a1+a2+a3+…+an)(a2+a3+…+an+a1)(a3+…+an+a1+a2)>=
[(a1a2a3…an)^(1/n)+(a1a2a3…an)^(1/n)+…]^n
(a1+a2+…+an)^n>=[n(a1a2…an)^(1/n)]^n
[(a1+a2+...+an)/n]^n>=a1*a2*...*an
能给出完整的证明过程么?TKS!
