线性代数：相似矩阵的问题

如果两个矩阵相似，那么他们就是在不同基表示下的一同一个矩阵，从而可以通过p-1AP的方式来通过变化基来让两个矩阵一样。那么问题就是：为什么P-1、P来乘A可以完成这一种坐标的变化呢？这个机制是什么样子的呢？
同理：等价与合同也最好能一起解释下，有加分。
谢谢。

相似的好处很多，最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型。若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵，这中矩阵在运算上有许多方便之处。
相似矩阵间有很多相同的性质，比如秩，行列式，迹（对角线之和），特征值，特征多项式，初等因子都相同。一个矩阵很重要的一点就是他的特征值。通过相似变换，可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质。
合同是指，存在可逆矩阵P，P转置AP=B，则A与B合同。等价是一种关系，只要满足反身性，对称性，传递性就是等价。合同和相似都是等价关系。追问

相似的好处我都知道，但是我就是不知道为什么通过P逆与P的作用下可以让两个矩阵变成一样的。为什么选择了P逆与P……而没选别的，这个本质是什么？

追答

为了特征值相同呗
P-1|aE-A|P=|aP-1EP-P-1AP|=|aE-P-1AP|

追问

好像有点理解了，您解释具体一点。

追答

前面不是说了吗，相似最重要的性质就是相似矩阵的特征值相同，而若当标准型也是基本就是特征值组成的。所以特征值是关键。
设A，B相似，B=P-1AP
|B-rE|=|P-1AP - P-1rEP|=|P-1( A-rE )P|=|P-1| |A-rE| |P|=|A-rE|
其中r就是某个特征值

还有A与B相似，那么B也与A相似。若B=P-1AP
则令Q=P-1，则Q-1BQ=A，

还有就是修改一点，我突然想起来矩阵里也有个等价矩阵。所谓等价矩阵，就是又相同的秩。所以合同和相似都是等价矩阵。我个人认为等价矩阵的概念其实就是矩阵间满足等价关系的最低条件

追问

这个证明看懂了，但是觉得这样说明还是不是很充分……用特征值相同来说明两个矩阵相似，能反映出两个矩阵是不同基下的同一矩阵吗？

追答

线性变换f，基a=（a1,a2, ... an），基b=(b1,b2, ... bn)，过渡矩阵X
若线性变换f在两组基下矩阵分别为A和B，那么有B=X-1 A X

f(a)=aA
f(b)=bB
b=aX
f(b)=f(aX)=aAX=bX-1 A X
所以B=X-1 A X

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