已知a,b,c是正数，求证a^2ab^2bc^2c大于等于a^(b+c)b^(c+a)c^(a+c)

如题所述

证明;原式=a^2ab^2bc^2c≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)
用左边减右边，得
a^(2a-b-c)b^(2b-c-a)c^(2c-a-b)≥0
a^(a+a-b-c)b^(b+b-c-a)c^(c+c-a-b)≥0
a^(a-b )a^(a-c)b^(b-c)b^(-(a-b))c^(-(a-c))c^(-(b-c))≥0
（a/b)^(a-b )(a/c)^(a-c)(b/c)^(b-c)≥0
不妨设a≥b≥c≥0
则有a-b≥0 a-c≥0 b-c≥0
∴(a/b)^(a-b )≥1 (a/c)^(a-c)≥1 (b/c)^(b-c)≥1
∴=(a/b)^(a-b )(a/c)^(a-c)(b/c)(^(b-c)≥1 （当且仅当a=b=c时，等式成立）
∴a^2ab^2bc^2c≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)

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