如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E。
如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E。 （1）求证：AB·AF=CB·CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点，设DP=xcm，梯形BCDP的面积为ycm 2 。①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值。
解：（1）∵ ，∴DE垂直平分AC， ∴  ，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°， ∴∠DCF=∠DAF=∠B， 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B， ∴△DCF∽△ABC， ∴  ，即  ，∴AB·AF=CB·CD； （2）①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°， ∴  ，∴  ，∴  ；②∵BC=9（定值）， ∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小， 由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A， ∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小， 显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小， 此时DP=DE，PB+PA=AB， 由（1）  ，得△DAF∽△ABC，EF∥BC， 得  ，EF= ，∴AF∶BC=AD∶AB，即6∶9=AD∶15， ∴AD=10， Rt△ADF中，AD=10，AF=6， ∴DF=8， ∴  ，∴当  时，△PBC的周长最小，此时 。 |
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第1个回答 2020-01-25
(2).
1.BC=9，AB=15，AC⊥BC，∴AC=12
过点P做PH⊥BC交BC于H，∵DE⊥AC，AC⊥BC，∴DE‖BC，∴四边形DPCB为梯形，∴y=(DP+BC)*PH/2=
3(9+x)
2。∵AD=DC，∴△PAC为等腰三角形，∴PC=PA
S△PBC=PC+PB++BC=PA+PB+BC
BC固定为9，∴当P点与E点重合时，PA+PB最小，为一条直线即AB
∴x=DE
△AEF∽△ADE
AF=6，AE=7.5
∴EF=4.5
∴DE/AE=AE/EF
推出DE=12.5
∴x=12.5cm
此时y=3(9+x)=64.5cm2
1.BC=9，AB=15，AC⊥BC，∴AC=12
过点P做PH⊥BC交BC于H，∵DE⊥AC，AC⊥BC，∴DE‖BC，∴四边形DPCB为梯形，∴y=(DP+BC)*PH/2=
3(9+x)
2。∵AD=DC，∴△PAC为等腰三角形，∴PC=PA
S△PBC=PC+PB++BC=PA+PB+BC
BC固定为9，∴当P点与E点重合时，PA+PB最小，为一条直线即AB
∴x=DE
△AEF∽△ADE
AF=6，AE=7.5
∴EF=4.5
∴DE/AE=AE/EF
推出DE=12.5
∴x=12.5cm
此时y=3(9+x)=64.5cm2
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