要证a^(2a) •b^(2b) •c^(2c)>a^(b+c) •b^(c+a) •c^(a+b)=(bc)^a•(ca)^b•(ab)^c
由于a、b、c均为正数，所以待证式等价于(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>1
分别讨论：
若b^2≥ac,由于已知a^2>bc，即有a^2/bc>1，b^2/ac≥1
所以(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>(a^2/bc)^c•(b^2/ac)^c•(c^2/ab)^c=1，不等式得证
若b^2<ac，则c^2<b^2<ab，即有b^2/ac<1，c^2/ab<1
所以(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^a•(c^2/ab)^a=1，不等式得证
由于a、b、c均为正数，所以待证式等价于(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>1
分别讨论：
若b^2≥ac,由于已知a^2>bc，即有a^2/bc>1，b^2/ac≥1
所以(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>(a^2/bc)^c•(b^2/ac)^c•(c^2/ab)^c=1，不等式得证
若b^2<ac，则c^2<b^2<ab，即有b^2/ac<1，c^2/ab<1
所以(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^b•(c^2/ab)^c>(a^2/bc)^a•(b^2/ac)^a•(c^2/ab)^a=1，不等式得证
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2010-07-17
证明 不妨设a≥b≥c>0,则
(a^(2a)*b^(2b)*c^(2c))/(a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b))
=(a^a*b^b*c^c)/(a^((b+c)/2)*b^((c+a)/2)*c^((a+b)/2))
=(a^((a-b)/2+(a-c)/2))*(b^((b-c)/2+(b-a)/2))*(c^((c-a)/2+(c-b)/2))
=((a/b)^((a-b)/2))*((a/c)^((a-c)/2))*((b/c)^((b-c)/2))≥1
故得
a^(2a)b^(2b)c^2(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)
(a^(2a)*b^(2b)*c^(2c))/(a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b))
=(a^a*b^b*c^c)/(a^((b+c)/2)*b^((c+a)/2)*c^((a+b)/2))
=(a^((a-b)/2+(a-c)/2))*(b^((b-c)/2+(b-a)/2))*(c^((c-a)/2+(c-b)/2))
=((a/b)^((a-b)/2))*((a/c)^((a-c)/2))*((b/c)^((b-c)/2))≥1
故得
a^(2a)b^(2b)c^2(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)
第2个回答 2010-07-17
你把左右两边都展开看看是什么= =
a^2a=(a^a)^2
最后应该是放缩了，或者是用均值
a^2a=(a^a)^2
最后应该是放缩了，或者是用均值
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