n!<[(n+1)/2]^n，n>1.用数学归纳法证明

n=k+1,(k+1)!<[(k+1)/2]^k(k+1)
(k+1)!<2[(k+1)/2]^k+1
因为：[(k+2)/(k+1)]^(k+1)=[1+1/(k+1)]^(k+1)>2,(k=1,2...) (怎么来的？凭空想出来的吗？)
所以：(k+1)!<{[(k+1)+1]/2}^(k+1)

首先n=2时，原式为2!<(3/2)^2，显然成立。

取对数，原式转化为：
ln1+ln2+...+ln(n) < n(ln(n+1)-ln2)

假设当n=k时原式成立，即：
ln1+ln2+...+ln(k) < k(ln(k+1)-ln2)
那么当n=k+1时，
欲证：ln1+ln2+...+ln(k)+ln(k+1) < (k+1)(ln(k+2)-ln2)
即证：k(ln(k+1)-ln2)+ln(k+1) < (k+1)(ln(k+2)-ln2)
<==> (k+1)ln(k+1)-k(ln2) < (k+1)ln(k+2)-(k+1)ln2
<==> ln2 < (k+1)ln[(k+2)/(k+1)]
<==> 2 < [1+1/(k+1)]^(k+1)
最后一步方法就比较多了，比如二项式展开等等

至此可知，当n=k时结论成立可以推出n=k+1时结论也成立。

因此对任何n>1，结论均成立。

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