定积分sinx/x0到无穷大=pai/2

这个是Dirchlet积分，算起来比较麻烦，得用含参变量积分来算。

利用广义的含参变量的积分,∫(0,+∞)表示从0到+∞的积分
考虑到:1/x=∫(0,+∞) e^(-xt) dt
所以sinx/x= ∫(0,+∞) e^(-xt)*sinx dt
∫(0,+∞)sinx/xdx=∫(0,+∞) [∫(0,+∞) e^(-xt) sinxdt]dx
改变积分次序可得：
∫(0,+∞)sinx/xdx=∫(0,+∞) [∫(0,+∞) e^(-xt) sinxdx]dt
用分部积分法可以求得：
I1=∫e^(-tx)sinxdx
=-∫e^(-tx)d(cosx)
=-e^(-tx)cosx-t∫e^(-tx)cosxdx
=-e^(-tx)cosx-tI2
I2=∫e^(-tx)cosxdx
=∫e^(-tx)d(sinx)
=e^(-tx)sinx+t∫e^(-tx)sinxdx
=e^(-tx)sinx+tI1
两式联立解得:I1=-e^(-tx)*(cosx+tsinx)/(1+t^2)
于是：I1(0)=-1/(1+t^2)
I1(+∞)=0(x→+∞时，e^(-tx)→0，而cosx+tsinx有界)
∫(0,+∞)sinx/xdx=∫(0,+∞)1/(1+t^2)dt=arctant┃(0,+∞)=π/2.本回答被网友采纳