定积分问题，不需要解答，请问为什么我不能用换元法t=sinx替换来做，因为一替换积分上下限都变0了

如题所述

也可以用t=sinx来替换，但是在算dx的时候，必须分段
既然t=sinx来替换，那么dx就必须转换成dt
但是当0≤x≤π/2的时候，x=arcsint
当π/2＜x≤3π/2的时候，x=π-arcsint
当3π/2＜x≤2π的时候，x=2π+arcsint
所以在将dx转换为dt的时候，必须分成三段，将这个定积分按前面的区间，分成三个定积分相加，各自换元。追问

能否问下，为何要分三段，能说说取值范围如何找么

追答

t=sinx，那么难道x就等于arcsint吗？不能这样搞
arcsint的值域范围是-π/2≤arcsint≤π/2
所以只有当x在-π/2≤x≤π/2是范围内的时候，x才等于arcsint
而0到2π范围内，只有0到π/2是这个范围内的，可以直接等于arcsint
当π/2＜x≤3π/2的时候，-π/2≤π-x＜π/2，而根据诱导公式，sin（π-x）=sinx=t
所以π-x=arcsint，那么x=π-arcsint
当3π/2＜x≤2π的时候，-π/2＜x-2π≤0，而根据诱导公式，sin（x-2π）=sinx=t
所以x-2π=arcsint，所以x=2π+arcsint
关键是注意反正弦函数arcsint的值域范围。

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