求证ln(x+1)>1/2+1/3+……+1/(n+1) ,n∈N*

如题所述

题目的结论有错误，应该是ln(n+1)<1+1/2+1/3+....+1/n，n为正整数
证明：
令f(x)=ln(x+1)-x，x>=0
求导：f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(x+1)<0
所以：
f(x)是单调递减函数
所以：
f(x)<f(0)=ln(0+1)-0=0
f(x)=ln(x+1)-x<0
ln(x+1)<x在x>0时成立

所以：
ln(1+1)=ln2<1
ln(1/2+1)=ln(3/2)=ln3-ln2<1/2

ln(1/3+1)=ln(4/3)=ln4-ln3<1/3
.............................................
ln(1/n+1)=ln(1+n)-ln(n)<1/n
以上各式相加：
ln(1+n)<1+1/2+1/3+....+1/n
所以：
ln(n+1)<1+1/2+1/3+....+1/n，n为正整数

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