（1） 形如2^n-1的素数
易知其中n必须为素数.
M(p)=2^p-1,称为梅森(Mersenne,也译作梅审、梅什涅)数,
其中的素数称作梅森素数,详见
http://baike.baidu.com/view/44574.htm
我对其中重要内容摘抄如下，作了少数修改和注释：
中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。
梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题。一般猜想有无数多个（我本人也这样想）。
其中有一个很简明的猜想（Catalan猜想，未获证）：
m(1)=M(2)=3,m(2)=M(m(1))=7,m(3)=M(m(2))=127,...如此递推得到的数列，全为素数。这类数递增很快。
这类素数有很重大的意义：
是发现已知最大素数的最有效的途径；测试计算机运算速度及其他功能的有力手段；
需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。
检验梅森数是否为素数的最有效方法来自Lucas和Lehmer:
1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp＞3是素数的充分必要条件是Lp-2=0，其中L0=4，Ln+1=(Ln－2)ModMp。这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。
另外，它还促进了分布式计算技术的发展。
（2）形如2^n+1的素数
易知其中n必须形如2^m。
F(m)=2^(2^m)+1，称为费马(Fermat,也译作费尔马)数。
参见：http://baike.baidu.com/view/443594.htm
其素因子的形状为k*2^(m+2)+1。有很多数学家如Robinson得到了一些结果。
但总体看来，对于这类数的研究，可能没有象对梅森数的研究那样深入。
可能由于此类数增长过快，对于不太大的m值，都很难判定F(m)的素性，分析出其素因子。目前仅仅已知m=0,1,2,3,4,5时为素数；其中第一个合数为
F5=2^(2^6)+1=4294967297=6700417*641=(52347*2^7+1)*(5*2^7+1)
一般猜想其中素数仅有有限个，甚至认为只有前5个。
我的想法是认为有无数个。
易知其中n必须为素数.
M(p)=2^p-1,称为梅森(Mersenne,也译作梅审、梅什涅)数,
其中的素数称作梅森素数,详见
http://baike.baidu.com/view/44574.htm
我对其中重要内容摘抄如下，作了少数修改和注释：
中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。
梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题。一般猜想有无数多个（我本人也这样想）。
其中有一个很简明的猜想（Catalan猜想，未获证）：
m(1)=M(2)=3,m(2)=M(m(1))=7,m(3)=M(m(2))=127,...如此递推得到的数列，全为素数。这类数递增很快。
这类素数有很重大的意义：
是发现已知最大素数的最有效的途径；测试计算机运算速度及其他功能的有力手段；
需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。
检验梅森数是否为素数的最有效方法来自Lucas和Lehmer:
1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp＞3是素数的充分必要条件是Lp-2=0，其中L0=4，Ln+1=(Ln－2)ModMp。这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。
另外，它还促进了分布式计算技术的发展。
（2）形如2^n+1的素数
易知其中n必须形如2^m。
F(m)=2^(2^m)+1，称为费马(Fermat,也译作费尔马)数。
参见：http://baike.baidu.com/view/443594.htm
其素因子的形状为k*2^(m+2)+1。有很多数学家如Robinson得到了一些结果。
但总体看来，对于这类数的研究，可能没有象对梅森数的研究那样深入。
可能由于此类数增长过快，对于不太大的m值，都很难判定F(m)的素性，分析出其素因子。目前仅仅已知m=0,1,2,3,4,5时为素数；其中第一个合数为
F5=2^(2^6)+1=4294967297=6700417*641=(52347*2^7+1)*(5*2^7+1)
一般猜想其中素数仅有有限个，甚至认为只有前5个。
我的想法是认为有无数个。
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第1个回答 2009-08-29
第二个问题如果是质数那么必有m使n=2^m，但这是费马数，至于他是否有无限个素数，数学界尚无定论。
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