十字相乘法怎么分解因式

十字相乘法概念
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果： ,在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例题
例1 把2x^2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
�
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
�
2 1
1×1+2×3
=7
1 －1
�
2 －3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1 －3
�
2 －1
1×(－1)+2×(－3)
=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
�
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常
叫做十字相乘法.
例2 把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
�
3 －5
2×(－5)+3×1=－7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是
1 －3
�
1 5
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).
例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
�
5 －4
1×(－4)+5×2=6
解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y) 2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1 －2
�
2 +1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例3:x2+2x-15

分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)

(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

=（x-3）（x+5)

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m