证明:当n>1时，((n+1)/3)的n次方小于n!

最好不用数学归纳法，直接用不等式证明。

证明：改写((n+1)/3)^n<n!为：n!(3/n)^n>(1+1/n)^n

用数学归纳法证明：n!(3/n)^n>e

当n=1时，3>e，结论成立。

设结论在n=k时成立，即：k!(3/k)^k>e

当n=k+1时，（k+1)!(3/(k+1))^(k+1)=k!(3^(k+1)/(k+1)^k

=k!(3/k)^k*(3/(1+1/k)^k)>e(3/(1+1/k)^k)>e ((1+1/k)^k<e<3)

故对一切n，有n!(3/n)^n>e>(1+1/n)^n。 证毕

扩展资料

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。