当x=1.时,An等于Bn
当x∈(1/10,1),A3<B3,假设当n=k时,An<Bn
即(1+lgx)^k<1+klgx+k(k-1)/2(lgx)^2;
两边同时乘以(1+lgx)得
(1+lgx)^(k+1)<1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3
因为x∈(1/10,1),则lgx<0,故(1+lgx)^(k+1)<1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3<1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2;
即当n=k+1,An<bn也成立,所以
当x∈(1/10,1)时,An<Bn。
当x∈(1,+∞).A3>B3.假设当n=k时,An>Bn,即(1+lgx)^k>1+klgx+k(k-1)/2(lgx)^2
两边同时乘以(1+lgx)得
(1+lgx)^(k+1)>1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3
因为lgx>0.所以(1+lgx)^(k+1)>1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2+k(k-1)/2*(lgx)^3>1+(k+1)lgx+k(k+1)/2(lgx)^2,
即A[k+1]>B[k+1],n=k+1时也成立;
故当x∈(1,+∞)时,An>Bn。
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