关于线性代数中对角化的一个问题
我见书中有这样的解题步骤：“三阶矩阵A的三个特征值分别是-1；1；1，对应单根-1求得线性无关的特征向量恰有一个，故矩阵A可对角化的充分必要条件是重根1有两个线性无关的特征向量。”
对于上面的分析我有一个疑问，根据书上的理论，三阶矩阵A可对角化的充要条件是有三个线性无关的特征向量，而上面解题步骤中讲到“矩阵A可对角化的充分必要条件是重根1有两个线性无关的特征向量”，我想问的是只考虑重根1的两个特征向量线性无关的话，怎么知道待会三个特征向量就也会跟着线性无关（重根1的两个特征向量和单根-1的一个特征向量）。
你可能忽略了书上一个非常重要的定理..
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不同特征值的特征向量是线性无关的
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这是一个非常有用且重要的定理,一定要理解.
相信你理解了这个定理的话,那么你肯定就可以解开你的疑惑了.
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喜欢思考是一件好事情啊,特别对待线性代数,多理解前后的关系,看似简单,其实把前后理顺了,不容易.
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我现在是研一的学生,当时大二的时候就是认真捉摸的,在考研时省了不少的力气,所以平时就要多思考.
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有什么不懂的再联系,我一般都在线..
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不同特征值的特征向量是线性无关的
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这是一个非常有用且重要的定理,一定要理解.
相信你理解了这个定理的话,那么你肯定就可以解开你的疑惑了.
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喜欢思考是一件好事情啊,特别对待线性代数,多理解前后的关系,看似简单,其实把前后理顺了,不容易.
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我现在是研一的学生,当时大二的时候就是认真捉摸的,在考研时省了不少的力气,所以平时就要多思考.
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有什么不懂的再联系,我一般都在线..
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2010-05-10
事实上，只要证明特征值 -1 所对应的特征向量 x 不能被特征值 1 所对应的特征向量表出即可。
不妨设特征值 1 所对应的特征向量为 x1，x2，且 x1，x2 线性无关(这里只就这道题讨论，一般的情况，比如n阶矩阵是楼主自己推广一下). 如果 x 可以被 x1，x2 线性表出，即存在不全为0的实数 t1，t2 使得 x=t1x1+t2x2，两边乘以矩阵A得到： Ax = t1Ax1 + t2Ax2.
由题意：Ax = -x，Ax1 = x1，Ax2 = x2，所以上式化为
-x = t1x1 + t2x2，但是由 x = t1x1 + t2x2 可知必有 x = -x，从而 x = 0，但这与 x 是特征值 -1 所对应的特征向量矛盾，因此只要保证特征值 1 对应的两个特征向量线性无关即可。
不妨设特征值 1 所对应的特征向量为 x1，x2，且 x1，x2 线性无关(这里只就这道题讨论，一般的情况，比如n阶矩阵是楼主自己推广一下). 如果 x 可以被 x1，x2 线性表出，即存在不全为0的实数 t1，t2 使得 x=t1x1+t2x2，两边乘以矩阵A得到： Ax = t1Ax1 + t2Ax2.
由题意：Ax = -x，Ax1 = x1，Ax2 = x2，所以上式化为
-x = t1x1 + t2x2，但是由 x = t1x1 + t2x2 可知必有 x = -x，从而 x = 0，但这与 x 是特征值 -1 所对应的特征向量矛盾，因此只要保证特征值 1 对应的两个特征向量线性无关即可。
第2个回答 2010-05-10
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
所以如果1的两个特征向量线性无关，必然跟-1的也线性无关。
所以如果1的两个特征向量线性无关，必然跟-1的也线性无关。
第3个回答 2010-05-11
属于不同特征值的特征向量线性无关
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