先看右边：
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1
所以ln(1+x)<x,
在看左边：
在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0;
当x>0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以 x/(1+x)<ln(1+x)
证毕。追问
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1
所以ln(1+x)<x,
在看左边：
在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0;
当x>0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以 x/(1+x)<ln(1+x)
证毕。追问
谢谢～
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第1个回答 2013-11-25
第2个回答 2013-11-25
这个只用导数就能做
令f (x ) =x/1+x -ln (1＋x) 求个导算个极值就好了
同理另一个也是这样做追问
令f (x ) =x/1+x -ln (1＋x) 求个导算个极值就好了
同理另一个也是这样做追问
算完极值后，看极值是否＜x 吗？
追答f (x ) =x/1+x -ln (1＋x) 求出这个的极值就知道 x/1+x ＜ln (1＋x) 了，算出这个就可以用同样方面算另一个了，你算算试试，
其实证明大小问题，就是做个减法就是了
追问求极值要知道自变量的区间啊。
追答x/1＋x ＜ln (1＋x) ＜ x" 那你本身这个题目有没有范围啊，这个题目的范围和构造的函数定义域相同
追问x ＞0，就只知道这个了。
追答x >0就是构造的函数的定义域啊……
追问噢，thank you !
追答采纳吧
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