一道数列和数学归纳法结合的数学题请高手们看一下我问老师了他不会做第二问！！

设数列(An)满足An+1=An^ - nAn + 1 n=1,2,3,4.....
当A1大于等于3时证明对所有的n大于等于1有
(1)An大于等于n+2
(2)1/1+A1 + 1/1+A2 + 1/1+A3 +.....+ 1/1+An
设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时, 证明
（1）an>=n+2
(2)1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) =< 1/2

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相关建议 2010-05-27

1楼已给出1解，只说（2）

一个数列和小于1/2，首先应该想到的是这样一个基本式
1/2+1/2^2+1/2^3………1/2^n=1-1/2^n<=1
则有1/2^2+1/2^3+1/2^4………1/2^(n+1)<=1/2
跟所有的不等式相比较，可以想到如果能证明
an>=2^(n+1)-1
则带入上式中必然可以得到所求。
而这个可以通过数学归纳法很简单的就能得到。

高考题答案看起来永远那么的玄乎。
不知道他到底是怎么想出来的。
所以要记住一些基本的结论，考试的时候配合联想，你做题就会有思路了。
答案不是唯一的，看懂答案是没有用的。要想想答案的思路是怎么一步步展开的。
1/2+1/2^2+1/2^3………1/2^n=1-1/2^n<=1，记住这个基本结论，以后肯定对你有用。我高中的时候就靠这个然后联想解过很多别人不会的题目。

温馨提示：内容为网友见解，仅供参考

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其他看法

第1个回答 2010-05-27

这是02年全国高考题，很经典的问题你问对了
用数学归纳法证明
1，n=1，3＞＝1＋2，显然成立
2。假设n=k成成立 ak>=k+2
那么n=k+1时
Ak+1=Ak^2 - kAk + 1
＝Ak(Ak-2)+1
>=(k+2)*2+1
=2k+5>k+1+2
n=k+1时不等式成立
由1、2得＿＿＿＿

（2）用放缩法证明
由1得an-n>=2
a(n+1)>=2an+1
a(n+1)+1>=2(an+1)
an+1>=2(a(n-1)+1)>=2^2(a(n-2)+1)>=--------
>=2^(n-1)(a1+1)=2^(n+1)
1/1+A1 + 1/1+A2 + 1/1+A3 +.....+ 1/1+An<1/4+1/8+1/16+-------
＝1/4(1-(1/2)^n)/(1-1/2)<1/2

你们老师是小青年吗，02年的高考题他不知道！
a(n+1)+1>=2(an+1)又叫次等比数列，热点问题。

第2个回答 2010-05-27

能不能把题目写得清楚一些呀楼主？
（1）当n=1时，a1>=3=1+2，an>=n+2成立；
当n >1时，an=（an-1）^2-nan-1+1，令S= an-（n+2）
=（an-1）^2-nan-1+1-（n+2）
=（an-1）^2-(n+1)an-1-1.
我们把S看作是以an-1为变数的二次函数，其中，
二次项系数=1大于0，
△=[-(n+1)]^2-4*1*(-1)= (n+1)^2+4>0,因此，S>0,
即an>n+2成立。
结合a1>=3有，an>=n+2成立。
http://zhidao.baidu.com/question/28933637.html

一道数列和数学归纳法结合的数学题 请高手们看一下 我问老师了 他不会做第二问！！

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