黄金分割率和斐波那契的联系

如何证明斐波那契数列的前一位数除以后一位数无限接近于黄金分割率？
要求证明过程
“单调且有界的序列收敛”是什么？

斐波那契数列与黄金分割率

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（生于公元1170年，籍贯大概是比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
《珠算原理》刚问世时，仅有为数寥寥的学者才知晓印度—阿拉伯数字。这部著作迅速传播，引起了神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世的关注。列昂纳多应召觐见，在皇帝面前受命解决五花八门的数学难题。自此，他与腓特烈二世以及其宫廷学者们保持了数年的书信往来，交换数学难题。
斐波那契数列衍生于《珠算原理》中的一道题目：
某人把一对兔子放入一个四面被高墙围住的地方。假设每对兔子每月能生下一对小兔，而每对新生小兔从第二个月开始又具备生育能力，请问：一年后应有多少对兔子？
正如丹·布朗对我们所言，答案就是1，1，2，3，5，8，13，21，然后可按34，55……一直排列下去。(从第三位起)每位数都是前两位数之和，这是欧洲人所知的第一个此类数列。
1753年，格拉斯哥大学的数学家罗伯特·辛姆森发现，随着数字的增大，两数间的比值越来越接近黄金分割率，或叫神灵构架，或古希腊人所说的“phi” 值。该数值为1�6180339887498948482，是一个与圆周率“pi”相类似的无限不循环小数。它的计算式为=（1+5）/2。
在黄金长方形中，长短边的比例就是黄金分割率。因此，假定短边长度为3，长边的长度就应该是3×1�62=4�86。
率先使用斐波那契数列的，是法国数学家埃杜瓦尔·卢卡斯。从那时起，科学家开始注意到自然界中这样的例子，譬如，向日葵花盘和松果的螺线、植物茎干上的幼芽分布、种子发育成形和动物犄角的生长定式。人类从胚胎、婴儿、孩童到成年的发育规律，也遵循着黄金分割率。
以上面所提的黄金长方形为例，如果你切掉一个（边长等于原短边）的正方形，剩下的部分仍旧保持黄金分割率。依次继续切割，你就会得到越来越小的黄金长方形。
斐波那契数列与此相似，你可以用边长为1的正方形做反向操作。加上一个同样的正方形，你可得到一个新的长方形。假若你不断在长边上添加正方形，新产生的长边就会遵循斐波那契数列，而你最终就会得到一个黄金长方形。
太阳系本身就是一条斐波那契螺线，形成以太阳为中心的涡旋。事实上，列昂纳多曾有论述：“与车轮不同的是，涡旋越趋中心速度越快。”比如说，水星年（水星绕行太阳一周）等于地球年的88天，而冥王星的1年是地球年的248倍。翠茜·特威曼和鲍伊德·赖斯在《上帝之舟》中列举的事实更进一步：太阳与水星的距离，加上水星与金星距离，正等于金星和地球的距离。

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