第1个回答 2007-10-19
2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛
试题参考答案及评分标准
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 已知 是方程 的两个根，则 （ ）
A. B. C. D.
解 原方程变形为 ，即 .
令 ，则 ，解得 .所以 或 ，所以方程的两根分别为 和 ，所以 . 故选（C）.
2. 设 为△ 的边 上一点， 为△ 内一点，且满足 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
解 连PD，则 ，所以 ，故 ，故
. 故选（A）.
3. 定义在 上的函数 既是奇函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当x∈[0, )时， ，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
解 根据题设条件可知
故选（B）.
4. 已知 是一个棱长为1的正方体， 是底面 的中心， 是棱 上的点，且 ，则四面体 的体积为 ( )
A. B. C. D.
解 易知 平面 ，设 是底面 的中心，则 平面 .
因为 ，
所以 ，故 .于是
，
所以 . 故选（C）.
5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )
A. . B. . C. D.
解 从10个球中取出4个，不同的取法有 种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有 种.
因此，取出的球的编号互不相同的概率为 . 故选（D）.
6. 使得 是完全平方数的正整数 有 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解 当 时，易知 不是完全平方数.故设 ，其中 为正整数，则 .
因为 是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数 ，使得 ，即 ，故 都是3的方幂.
又两个数 相差2，所以只可能是3和1，从而 .
因此，存在唯一的正整数 ，使得 为完全平方数.故选（B）.
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 设 表示不大于 的最大整数，集合 ， ，则 _________________.
解 不等式 的解为 ，所以 .
若 ，则 所以 只可能取值 .
若 ，则 ，没有实数解；若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，没有符合条件的解；若 ，则 ，没有符合条件的解；
若 ，则 ，有一个符合条件的解 .
因此， .
8. 若数列 满足： ，则 _______.
解 由 两边平方得 ，
又 ，两式相减，得
.
由 求得 ，又由递推关系式易知数列 是单调递增数列，所以 ，故 ，即 ，即 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，于是
，
所以 .
9. 设复数 其中 ，当 取得最小值时， __________.
解 易求得 ，，于是 ＝10， 取得最小值，当且仅当 ，解得 ，所以 12.
10. 设 ，则函数 的最小值为__________.
解 因为 ，所以 ，设 ，
（1）
其中等号成立当且仅当 成立，此时 ，设 ，则 .而
故 ，
注意到 ，判断易知满足限制条件的根只有 .
当 时， ，不等式（1）取得等号.
所以函数 的最小值为 .
11. 对于函数 ，存在一个正数 ，使得 的定义域和值域相同，则非零实数 的值为__________.
解 若 ，对于正数 ， 的定义域为 ，但 的值域 ，故 ，不合要求.
若 ，对于正数 ， 的定义域为 .
由于此时 ，故函数的值域 .
由题意，有 ，由于 ，所以 .
12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点 到其渐近线的距离为 .若过 点作斜率为 的直线交双曲线于 两点，交 轴于 点，且 是 与 的等比中项，则双曲线的半焦距为__________.
解 设渐近线的方程为 ，由题设得 ，解得 ，双曲线的渐近线方程为 ，故可设双曲线的方程为 .
设 ，直线 的方程为 ，代入双曲线方程消去 ，得 .
当 ，即 时，上面的方程恰有两实根，且 .
由题设可知， ，可化为 ，即 ，即 ，解得 或 .
因此，双曲线的方程为 或 ，即 或 .
所以双曲线的半焦距为 或 .
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 过点 作已知直线 的平行线，交双曲线 于点 .
（1）证明：点 是线段 的中点.
（2）分别过点 作双曲线的切线 ，证明：三条直线 相交于同一点.
（3）设 为直线 上一动点，过点 作双曲线的切线 ，切点分别为 .证明：点 在直线AB上.
解 （1）直线 的方程为 ，即 ，代入双曲线方程 ，得 .
设 ，则 是方程的两根，所以 ，
于是 ，故点 是线段 的中点. ………5分
（2）双曲线 的过点 的切线方程分别为
， .
联立，得 两式相加，并将 ， 代入，得 ，这说明直线 的交点在直线 上，即三条直线 相交于同一点. …………………………10分
（3）设 ， ，则 的方程分别为 和 ，因为点 在两条直线上，所以 ， ，这表明点 都在直线 上，即直线 的方程为 .
又 ，代入整理得 ，显然，无论 取什么值（即无论 为直线 上哪一点），点 都在直线AB上. …………………………20分
14. 已知数列 满足递推关系式： ， .
（1）若 ，证明：（ⅰ）当 时，有 ；（ⅱ）当 时，有 .
（2）若 ，证明：当 时，有 .
证明： 因为 ，故 ，即数列 为递增数列.
（1）（ⅰ）由 及 可求得 ，于是当 时， ，于是 ，即当 时， .
…………………………5分
（ⅱ）由于 时， ，所以 时， .
由 可得 .
先用数学归纳法证明下面的不等式成立： （ ）.
Ⅰ）当 时， ，结论成立.
Ⅱ）假设结论对 成立，即 ，则结合（ⅰ）的结论可得
，即当 时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式 对一切 都成立.
因此，当 时， ，即 .
又 ， ，所以当 时，有 .
…………………………10分
（2）由于 ，而数列 为递增数列，故当 时，有 .
由 可得 ，而 ，于是
.
下面先证明：当 时，有 （*）
Ⅰ）根据 及 计算易得 ，
，而 ，
故 ，即当 时，结论成立.
Ⅱ）假设结论对 成立，即 .
因为 ，而函数 在 时为增函数，所以
，
即当 时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式 对一切 都成立.
于是当 时， ，故 ，所以 .
…………………………20分
15. 求所有的正整数 ，使得 是一个完全平方数，且除了2或3以外， 没有其他的质因数.
解 设 ，其中 ，则 .
依题意，可设 其中 均为非负整数，于是
（1）…………………………5分
如果 ，则 ，这是不可能的.所以 中至少有一个大于0，于是 和 均为偶数，从而 均为正整数.
若 ，则 ，显然只可能 （否则左右两边被4除的余数不相同），此时 ，显然只能是 ，此时 .
…………………………10分
若 ，则 是4的倍数，从而 也是4的倍数，故 ，此时
（2）
显然 中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.
1）当 ，即 时， （3）
此时 （否则等式左右两边奇偶性不相同），故 .
若 ，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能 ，从而（3）式即 ，它只有两组解 和 即 和 此时，对应的 值分别为24和96，相应的 值分别为864和10368. …………………15分
2）当 ，即 时， （4）
此时显然 （否则等式左右两边奇偶性不相同），故 .
若 ，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故 .
若 ，则 ，只可能 ，此时 .
若 ，则（4）式即 ，它只有两组解 和 即 和 此时，对应的 值分别为12和36，相应的 值分别为288和1728.
因此，符合条件的 值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.
…………………………20分
试题参考答案及评分标准
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 已知 是方程 的两个根，则 （ ）
A. B. C. D.
解 原方程变形为 ，即 .
令 ，则 ，解得 .所以 或 ，所以方程的两根分别为 和 ，所以 . 故选（C）.
2. 设 为△ 的边 上一点， 为△ 内一点，且满足 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
解 连PD，则 ，所以 ，故 ，故
. 故选（A）.
3. 定义在 上的函数 既是奇函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当x∈[0, )时， ，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
解 根据题设条件可知
故选（B）.
4. 已知 是一个棱长为1的正方体， 是底面 的中心， 是棱 上的点，且 ，则四面体 的体积为 ( )
A. B. C. D.
解 易知 平面 ，设 是底面 的中心，则 平面 .
因为 ，
所以 ，故 .于是
，
所以 . 故选（C）.
5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )
A. . B. . C. D.
解 从10个球中取出4个，不同的取法有 种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有 种.
因此，取出的球的编号互不相同的概率为 . 故选（D）.
6. 使得 是完全平方数的正整数 有 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解 当 时，易知 不是完全平方数.故设 ，其中 为正整数，则 .
因为 是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数 ，使得 ，即 ，故 都是3的方幂.
又两个数 相差2，所以只可能是3和1，从而 .
因此，存在唯一的正整数 ，使得 为完全平方数.故选（B）.
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 设 表示不大于 的最大整数，集合 ， ，则 _________________.
解 不等式 的解为 ，所以 .
若 ，则 所以 只可能取值 .
若 ，则 ，没有实数解；若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，没有符合条件的解；若 ，则 ，没有符合条件的解；
若 ，则 ，有一个符合条件的解 .
因此， .
8. 若数列 满足： ，则 _______.
解 由 两边平方得 ，
又 ，两式相减，得
.
由 求得 ，又由递推关系式易知数列 是单调递增数列，所以 ，故 ，即 ，即 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，于是
，
所以 .
9. 设复数 其中 ，当 取得最小值时， __________.
解 易求得 ，，于是 ＝10， 取得最小值，当且仅当 ，解得 ，所以 12.
10. 设 ，则函数 的最小值为__________.
解 因为 ，所以 ，设 ，
（1）
其中等号成立当且仅当 成立，此时 ，设 ，则 .而
故 ，
注意到 ，判断易知满足限制条件的根只有 .
当 时， ，不等式（1）取得等号.
所以函数 的最小值为 .
11. 对于函数 ，存在一个正数 ，使得 的定义域和值域相同，则非零实数 的值为__________.
解 若 ，对于正数 ， 的定义域为 ，但 的值域 ，故 ，不合要求.
若 ，对于正数 ， 的定义域为 .
由于此时 ，故函数的值域 .
由题意，有 ，由于 ，所以 .
12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点 到其渐近线的距离为 .若过 点作斜率为 的直线交双曲线于 两点，交 轴于 点，且 是 与 的等比中项，则双曲线的半焦距为__________.
解 设渐近线的方程为 ，由题设得 ，解得 ，双曲线的渐近线方程为 ，故可设双曲线的方程为 .
设 ，直线 的方程为 ，代入双曲线方程消去 ，得 .
当 ，即 时，上面的方程恰有两实根，且 .
由题设可知， ，可化为 ，即 ，即 ，解得 或 .
因此，双曲线的方程为 或 ，即 或 .
所以双曲线的半焦距为 或 .
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 过点 作已知直线 的平行线，交双曲线 于点 .
（1）证明：点 是线段 的中点.
（2）分别过点 作双曲线的切线 ，证明：三条直线 相交于同一点.
（3）设 为直线 上一动点，过点 作双曲线的切线 ，切点分别为 .证明：点 在直线AB上.
解 （1）直线 的方程为 ，即 ，代入双曲线方程 ，得 .
设 ，则 是方程的两根，所以 ，
于是 ，故点 是线段 的中点. ………5分
（2）双曲线 的过点 的切线方程分别为
， .
联立，得 两式相加，并将 ， 代入，得 ，这说明直线 的交点在直线 上，即三条直线 相交于同一点. …………………………10分
（3）设 ， ，则 的方程分别为 和 ，因为点 在两条直线上，所以 ， ，这表明点 都在直线 上，即直线 的方程为 .
又 ，代入整理得 ，显然，无论 取什么值（即无论 为直线 上哪一点），点 都在直线AB上. …………………………20分
14. 已知数列 满足递推关系式： ， .
（1）若 ，证明：（ⅰ）当 时，有 ；（ⅱ）当 时，有 .
（2）若 ，证明：当 时，有 .
证明： 因为 ，故 ，即数列 为递增数列.
（1）（ⅰ）由 及 可求得 ，于是当 时， ，于是 ，即当 时， .
…………………………5分
（ⅱ）由于 时， ，所以 时， .
由 可得 .
先用数学归纳法证明下面的不等式成立： （ ）.
Ⅰ）当 时， ，结论成立.
Ⅱ）假设结论对 成立，即 ，则结合（ⅰ）的结论可得
，即当 时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式 对一切 都成立.
因此，当 时， ，即 .
又 ， ，所以当 时，有 .
…………………………10分
（2）由于 ，而数列 为递增数列，故当 时，有 .
由 可得 ，而 ，于是
.
下面先证明：当 时，有 （*）
Ⅰ）根据 及 计算易得 ，
，而 ，
故 ，即当 时，结论成立.
Ⅱ）假设结论对 成立，即 .
因为 ，而函数 在 时为增函数，所以
，
即当 时结论也成立.
综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式 对一切 都成立.
于是当 时， ，故 ，所以 .
…………………………20分
15. 求所有的正整数 ，使得 是一个完全平方数，且除了2或3以外， 没有其他的质因数.
解 设 ，其中 ，则 .
依题意，可设 其中 均为非负整数，于是
（1）…………………………5分
如果 ，则 ，这是不可能的.所以 中至少有一个大于0，于是 和 均为偶数，从而 均为正整数.
若 ，则 ，显然只可能 （否则左右两边被4除的余数不相同），此时 ，显然只能是 ，此时 .
…………………………10分
若 ，则 是4的倍数，从而 也是4的倍数，故 ，此时
（2）
显然 中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.
1）当 ，即 时， （3）
此时 （否则等式左右两边奇偶性不相同），故 .
若 ，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能 ，从而（3）式即 ，它只有两组解 和 即 和 此时，对应的 值分别为24和96，相应的 值分别为864和10368. …………………15分
2）当 ，即 时， （4）
此时显然 （否则等式左右两边奇偶性不相同），故 .
若 ，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故 .
若 ，则 ，只可能 ，此时 .
若 ，则（4）式即 ，它只有两组解 和 即 和 此时，对应的 值分别为12和36，相应的 值分别为288和1728.
因此，符合条件的 值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.
…………………………20分
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