推荐你一个解法:
构造函数法。
因为ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1),
(想一想为什么?是因为(n+1)=(n+1)/n*n/(n-1)*.......3/2*2/1然后两边取对数)
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],
于是我们构造函数:f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,
求导易得:f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,即f(x)在x>0上单调递增,又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0,x>0。
即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,
亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],
现将x用1/n(>0)替换整理可得:
1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)],
并将此不等式n项累加得:
1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}
=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]
=ln(n+1)+n/(2n+2),
于是原命题得证!
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