证明N的阶乘不是完全平方数（N>=2）：

如题所述

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第1个回答 2013-03-17

该题证明要用到两个基本结论：①如果P为不大于N的最大素数，那么P＞N/2；②如果N为合数，那么N的最大素因子≦N/2。追问

为什么要证第2个？还有你可以证明这两个结论吗？

追答

N为素数：假设N！=m^2,那么N整除m，从而m=kN,k为整数，m^2=k^2N^2,所以N！=m^2=k^2N^2，即（N-1）!=k^2N,所以N能整除（N-1）!，矛盾！（（N-1）!中的最大素因子必小于N,而N为素数，N不可能能整除（N-1）!），所以N！不是平方数；
N为合数：假设N！=m^2,存在素数p,满足N/2<p<N,设P是诸p中最大的一个，那么P整除m，从而m=kP,k为整数，m^2=k^2P^2,所以N！=m^2=k^2P^2,即1.2...P(P+1)...N=k^2P^2，即1.2...(P-1)(P+1)...N=k^2P,所以P能整除1.2...(P-1)(P+1)...N，矛盾！（1.2...(P-1)(P+1)...N的最大素因子必小于P,P不可能能整除1.2...(P-1)(P+1)...N），所以N！不是平方数；
综上所述，N！不是平方数。
另外，①如果P为不大于N的最大素数，那么P＞N/2；首先要证明必有素数p满足N/2<p≤N，N≥2；结论很明显，但证法很复杂；
②如果N为合数，那么N的最大素因子≦N/2。设N的最大素因子为p，则N=pq，q≥2为N的因子，那么pq≥2p，即N≥2p，所以p≤N/2。

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