求近两年的中考数学的压轴题

1、已知二次函数
（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。
（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。

2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
　　（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

3．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

4、如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

　

　　5、情境观察
　　　将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
　　　　观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
　　　
　　　
　　　
　　　

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

　　拓展延伸
　　　如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

　　
　　
　　　
　　　
　　　
6．（本题满分12分）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
　　　　　①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

7、（2011·济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

8.(南京)（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
　　⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
　　⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

9.（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
　　⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
　　⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
　　①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
　　②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

10．（11分）
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
填写下表，画出函数的图象：

x …… 1 2 3 4 ……
y …… ……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题
　⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

11、(本题12分)
已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，
并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有
，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线
交于点K，如图所示。
(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴
依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

12.（2011年广东省）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？
　　　当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

13.（2011年桂林市）本题满分12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

14、(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

15. （本题满分10分） 如图1，把一个边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边).
(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；
(2)如图2，另一个边长为2的正方形的中心G在点M上，、在x轴的负半轴上(在的左边)，点在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中始终与x轴平行.
　①直接写出点C’、D’移动路线形成的抛物线C(C’)、C（D’）的函数关系式；
　②如图3，当正方形第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，
　　求点G的坐标．

16．（本题满分12分）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等
腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，
线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

17．如图1，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s).
　　（1）求正方形ABCD的边长.
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度.
　　（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时，能使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能.
　　
　　
　　
　　
　　1、已知二次函数
（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。
（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。

2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
　　（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

3．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

4、如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

　

　　5、情境观察
　　　将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．
　　　　观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
　　　
　　　
　　　
　　　

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

　　拓展延伸
　　　如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

　　
　　
　　　
　　　
　　　
6．（本题满分12分）如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
　　　　　①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

7、（2011·济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

8.(南京)（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
　　⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
　　⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．

9.（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
　　⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
　　⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
　　①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
　　②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

10．（11分）
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
填写下表，画出函数的图象：

x …… 1 2 3 4 ……
y …… ……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题
　⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

11、(本题12分)
已知两直线，分别经过点A(1，0)，点B，
并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有
，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线
交于点K，如图所示。
(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴
依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。
(3)当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

12.（2011年广东省）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？
　　　当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

13.（2011年桂林市）本题满分12分）已知二次函数的图象如图.
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

14、(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

15. （本题满分10分） 如图1，把一个边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边).
(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；
(2)如图2，另一个边长为2的正方形的中心G在点M上，、在x轴的负半轴上(在的左边)，点在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中始终与x轴平行.
　①直接写出点C’、D’移动路线形成的抛物线C(C’)、C（D’）的函数关系式；
　②如图3，当正方形第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，
　　求点G的坐标．

16．（本题满分12分）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等
腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，
线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

17．如图1，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s).
　　（1）求正方形ABCD的边长.
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度.
　　（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标.
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时，能使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能.
　　
　　
　　
　　
　　

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