欠条过期还有法律效力吗

不会。根据诉讼时效的规定，你这个欠条是2013年6月1号还钱，那么即使在你一声不吭的情况下，也要到2015年6月2号才丧失诉讼时效。

欠条没有过期一说，在债务没有还清之前，欠条一直都有效。所谓过期，大概说的是诉讼时效，还款期限届满后，债权人超过两年没有向债务人主张权利，那么就超过了诉讼时效，意思是此时债权人向法院起诉要求债务人还款的话，假如债务人以超过诉讼时效为由提出抗辩，那么法院将不会支持债权人的诉讼请求。

有啊 只要一天没还钱都有法律效应

根据《民法通则》第一百三十五条、第一百三十七条的规定，诉讼时效期间为从知道或者应当知道权利被侵害时起二年。
根据你描述的情况来看，对方公司在欠条上承诺在2013年6月1日还款，那诉讼时效起码应该是在2013年6月1日之后的二年内，也就是说欠条在2015年6月1日之前，都是属于在诉讼时效之内，是受法律保护的，不会作废。
另外，根据法律规定，即使债权超过了诉讼时效，那也只是可能在法院诉讼中丧失胜诉权，但并不是实体债权消失，民事上的实体权利仍然是存在的，你仍可以自行向对方公司主张权利，催讨欠款。

没有过期。欠条到下星期不会作废。